تانژانت درست همانند سينوس و تانژانت يكي از نسبت‌هاي مثلثاتي است. در مقالات مرتبط با سينوس و تانژانت گفته شد كه اين نسبت‌ها حاصل كار رياضي‌دانان و منجمين دوران باستان هستند.آنها كشف كرده بودند كه جدا از اينكه اندازه اضلاع چقدر باشد، در صورت يكسان بودن زواياي مثلث‌هاي قائم‌الزاويه، برخي نسبت‌ها همواره برابرند.
شكل‌هاي زير را ببينيد.
ماشين حساب
در هر دو مثلث قائم‌الزاويه، نسبت ضلع مقابل به مجاور زاويه ۶۰ درجه، برابر است. به اين نسبت، تانژانت مي‌گويند.
تانژانت زاويه theta برابر است با نسبت ضلع مقابل به زاويه theta به ضلع مجاور زاويه theta يك مثلث قائم‌الزاويه.
تانژانت زاويه تتا را با نماد tan(theta) نمايش مي‌دهند.
تانژانت به عنوان يك تابعتانژانت براي زوايا تعريف مي‌شود. اگر بخواهيم آن را به عنوان يك تابع در نظر بگيريم، ورودي آن يك زاويه و خروجي آن يك عدد است.
بياييد يك مثلث قائم‌الزاويه روي محور مختصات رسم كنيم. وتر اين مثلث همواره برابر يك است و زاويه قائم آن روي محور x قرار دارد. درست مطابق شكل زير:
تانژانت در ربع اول
مي‌خواهيم تانژانت آلفا را حساب كنيم. خوب طبق تعريف، مقدار تانژانت برابر است با:
tan(alpha) = frac{y}{x} &S=2
مقدار زاويه آلفا را افزايش مي‌دهيم تا زماني كه برابر با ۹۰ درجه بشود. وقتي آلفا نود باشد، ضلع مجاور زاويه آلفا صفر مي‌شود. پس داريم:
tan(alpha) = frac{y}{0} &S=2
يعني تانژانت ۹۰ درجه تعريف نشده است.
زاويه آلفا را از ۹۰ درجه بيشتر مي‌كنيم. در ناحيه دوم يك مثلث قائم‌الزاويه تشكيل مي‌شود. در اين ناحيه مقدار x منفي است. پس داريم:
tan(alpha) = frac{y}{-x} &S=2
تانژانت در ربع دوم
تا زماني كه زاويه به ۱۸۰ درجه برسد. در اين لحظه، اندازه ضلع مقابل زاويه آلفا صفر مي‌شود. پس داريم:
tan(alpha) = frac{0}{x} = 0 &S=2
زاويه آلفا را از ۱۸۰ درجه بيشتر مي‌كنيم و وارد ربع سوم مي‌شويم. در اينجا مقدار x باز هم منفي است و y هم منفي مي‌شود. پس داريم:
tan(alpha) = frac{-y}{-x} = frac{y}{x} &S=2
تانژانت در ربع سوم
با افزايش مقدار آلفا، وارد ناحيه چهارم مي‌شويم. در اين ناحيه مقدار x مثبت است ولي y منفي است. پس داريم:
tan(alpha) = frac{-y}{x} &S=2
تانژانت در ربع چهارم
پس مي‌بينيد كه با رسم مثلث قائم‌الزاويه بر روي مختصات دكارتي، مقدار تانژانت از منفي بي‌نهايت يا مثبت بي‌نهايت مي‌تواند باشد. پس برد تابع تانژانت برابر است با R
و اما مقادير ورودي تابع تانژانت چيست؟ گفتيم كه ورودي يك زاويه است.
زاويه واحدهاي مختلفي دارد كه تا كنون با درجه و راديان آشنا شده‌ايد. اگر واحد زاويه را درجه بگيريم، فقط به صورتي كه در بالا نشان داده شد مي‌توان تانژانت را رسم كرد.
ولي اگر بخواهيم كه مثل يك تابع معمولي، تانژانت را رسم كنيم چه؟ يعني مقدار ورودي روي محور xها باشد و مقدار خروجي روي محور xها. در اين صورت، نمي‌توان از درجه استفاده كرد. زيرا درجه تنها بر روي دايره تعريف مي‌شود. بايد به سراغ راديان برويم.
اگر با راديان تابع تانژانت را رسم كنيم، شكل تابع به صورت زير مي‌شود:
تعريف تانژانت در رياضي
همانطور كه مي‌بينيد تابع تانژانت در نقاطي به طول (2k+1)frac{pi}{2}. تعريف نشده است. علت آن را در شكل‌هاي بالا ديديم. زيرا در ۹۰ درجه و ۲۷۰ درجه، ضلع مجاور صفر مي‌شود و تقسيم به صفر بي معني است.
همچنين تانژانت يك تابع تناوبي است. در توابع تناوبي چيزي به نام دوره تناوب وجود دارد. اگر دوره تناوب يك تابع T باشد، يعني هر T بار، مقدار تابع ثابت است. به زبان رياضي داريم:
f(x+T) = f(T)
با نگاه به نمودار تابع تانژانت متوجه مي‌شويد كه دوره تناوب تابع تانژانت برابر با pi است.
ويژگي‌هاي تابع تانژانتتابع تانژانت در هر تناوب اكيداً صعودي است ولي به صورت كلي نه صعودي است و نه نزولي.
تابع تانژانت يك تابع فرد است. يعني داريم:
tan(-x)=-tan(x)
همچنين داريم:
tan(x+2kpi) = tan(x)
tan(x+kpi) = tan(x)
طبق تعريف سينوس و كسينوس واضح است كه:
tan(x) = frac{sin(x)}{cos(x)}
ماشين حساب
مقدار تانژانت برخي زواياي مهمدر جدول زير مقدار تانژانت براي تعدادي از زواياي معروف آورده شده است. حفظ بودن اين مقادير الزامي است.
مقدار تانژانت زاويه0 &S=2 0^{circ} = 0 rad &S=2frac{sqrt{3}}{3} &S=2 30^{circ} = frac{pi}{6} rad &S=21 &S=2 45^{circ} = frac{pi}{4} rad &S=2sqrt{3} &S=2 60^{circ} = frac{pi}{3} rad &S=2تعريف نشده 90^{circ} = frac{pi}{2} rad &S=20 &S=2 180^{circ} = pi rad &S=2تعريف نشده 270^{circ} = frac{3pi}{2} rad &S=20 &S=2 360^{circ} = 2pi rad &S=2
سه شنبه ۲۶ دی ۹۶ | ۱۱:۳۱ ۱ بازديد
تا كنون نظري ثبت نشده است
نرخ تبديل شارژر قدرت چيست؟